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物理学のテキストを読んでいて躓いた近似式

振動・波動 (裳華房テキストシリーズ―物理学)」第一章演習問題 [5] の近似式。物理学における近似式はたいていテイラー展開みたいな話をどっかで見たんで、真正面からテイラー展開しようとしたらドツボにハマって二日くらい悩んでやっと解けたのでメモ。

計算過程

t = x^2, a = l^2 と置いて
f(t)=\frac{1}{\sqrt{a+t}}
とする。
今、振幅が小さいとしているので、 x^4 以上のべき項は無視できるものとする。
t=x^2 なのと、展開後の式へ x をかけるのとで、最終的に x の三次式になるので、 f(t) を一次までテイラー展開する。
f(0)=\frac{1}{\sqrt{a+0}}=\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{l}
f'(0)=\left.-\frac{1}{2}(a+t)^{-\frac{3}{2}}\right|_{t=0}=-\frac{1}{2a^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{2l^3}
より、
f(t)=\frac{1}{l}-\frac{1}{1!}\frac{1}{2l^3}t^1+...=\frac{1}{l}\left(1-\frac{1}{2l^2}t\right)+...
よって、
f(x)=\frac{1}{\sqrt{l^2+x^2}}=\frac{1}{l}\left(1-\frac{1}{2l^2}x^2\right)+...
以上を用いると、
\begin{eqnarray*}<br />
m\ddot{x}&=&-2k\left(\sqrt{l^2+x^2}-1\right)\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}\\<br />
&=&-2k\left(1-\frac{l}{\sqrt{l^2+x^2}}\right)x\\<br />
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray}<br />
m\ddot{x}& \approx &-2k\left{1-l\frac{1}{l}\left(1-\frac{1}{2l^2}x^2\right)\right}x\\<br />
&=&-2k\left(\frac{1}{2l^2}x^2\right)x=-\frac{k}{l^2}x^3\\<br />
\end{eqnarray}

備考

振動・波動 (裳華房テキストシリーズ―物理学)

振動・波動 (裳華房テキストシリーズ―物理学)

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